ترجمههای کامران بزرگزاد
چگونه اعداد
بزرگتری تولید کنیم؟
استفاده از
نمادگذاری علمی برای نمایش اعداد بزرگ و کوچک
اعداد بزرگی که ممکن
است برای شمارش با آنها روبرو شوید
اعداد بزرگ برای
تراکنش‌های پولی
بزرگترین عددی که
فعلاً جواب یک مسئله فیزیک است
اصولاً به
سادگی می‌توان اعدادی را تولید کرد که از اعداد قبلی بزرگتر باشند (مثلاً با جمع
یا ضرب کردن آنها در یک عدد ثابت، یا در خودشان). به طور آشکار روند تولید اعداد
بزرگ حدی ندارد، و اگر چنین روند‌هایی تکرار شوند موضوع بینهایت پیش می‌آید، و
این چیزی نیست که منظور ما از اعداد بزرگ باشد. ولی ممکن است در جهان واقعی چیزی
بعنوان بینهایت وجود نداشته باشد، و آنچه ما با آن روبرو هستیم فقط اعدادی باشند
که بسیار بزرگ هستند.
البته این
درست است که بینهایت وجود دارد، ولی عمدتاً در دو جا ظاهر می‌شود، یکی در ریاضیات
و دیگری در فلسفه. در ریاضیات از بینهایت بعنوان یک ابزار استفاده می‌شود، ابزاری
که بخوبی جواب می‌دهد و بسیاری از علوم از آن بهره می‌برند. ولی هنوز کسی ثابت
نکرده که در جهان واقعی یک کمیت فیزیکی بینهایت (مثلاً جرم، طول یا زمان) وجود
دارد. مثلاً ممکن است شنیده باشید که اگر جسمی با سرعت نور حرکت کند، جرم آن بینهایت
می‌شود، یا با گذر زمان اندازه فضا بینهایت می‌شود. ولی همه این نوع گزاره‌ها
حاکی از شرط‌های مبهم و غیر ممکن هستند؛ آیا قرار است سرعت جسم به سرعت نور برسد
تا جرم آن بینهایت شود؟ یا قرار است زمان تا ابد ادامه پیدا کند تا فضا هم
نامتناهی باشد؟ آنچه از ظاهر برخی از معادلات فیزیک بر می‌آید این است که آنها
حاوی اعداد بسیار بزرگ (یا بسیار کوچک) هستند. ثابت‌های علم فیزیک همه اعداد
متناهی هستند (مثل ثابت‌های پلانک). فراتر از این اعدادِ بزرگ (یا کوچک)، جهان
حالتی مبهم به خود می‌گیرد، حالت‌هایی که قوانین فعلی فیزیک قادر به توصیف آنها
نیستند. بنابراین ما در اینجا بینهایت را کنار گذاشته و فقط اعدادی را بررسی می‌کنیم
که خیلی بزرگ هستند (برای مطالعات بیشتر در مورد بینهایت به کتاب مقدمه‌ای بسیار کوتاه درباره بینهایت رجوع کنید).
منظور از
اعداد بزرگ چیست؟ اعداد بزرگ به اعداد صحیح مثبت، یا بطور کلی‌تر به اعداد حقیقی
مثبت، اشاره دارد. یک عدد بزرگ باید متناهی باشد، و مهمتر از آن، باید جواب
یک مسئله بامعنی ریاضی یا فیزیک باشد. اگر ما عدد بزرگی را بعنوان جواب یک
مسئله خاص مطرح کردیم، و ثابت شد که این عدد نسبت به اعداد قبلی بزرگتر است، کسی
نمی‌تواند با یک عددسازی بچگانه رکورد شما را بشکند و مثلاً بگوید ”عدد من دو
برابر شماست، یا ده به توان عدد شماست، و درنتیجه از عدد شما بزرگتر است!“
اعداد بزرگ اغلب در حوزه‌هایی نظیر
ریاضیات، کیهانشناسی، رمزنگاری، و مکانیک آماری ظاهر می‌شود. برخی اوقات مردم به
چنین اعدادی ”اعداد نجومی“ می‌گویند. ولی در ریاضیات به سادگی می‌توان اعدادی را
یافت که بسیار بزرگتر از اعدادی باشند که در نجوم و کیهانشناسی ظاهر می‌شوند. در ادامه همین مقاله به عددی برخورد می‌کنید که
میتواند بزرگترین عددی باشد که بعنوان جواب یک مسئله فیزیکی مطرح می‌شود. به
عبارتی دیگر، شما کمتر مسئله‌ای را در فیزیک می‌توانید پیدا کنید که جواب آن از
این عدد بزرگتر باشد. بااینحال، این عدد در برابر اعدادی که در ریاضیات مطرح می‌شوند
اصلاً به حساب نمی‌آید. هرچه باشد ریاضیات حوزه‌ای انتزاعی است، و بسادگی می‌توان
در آن مسائل انتزاعی را پیدا کرد که جواب آن اعداد (بسیار) بزرگی باشند.
اعدادی بزرگی که در ریاضیات مطرح می‌شوند
به قدری بزرگ هستند که درک مستقیم آنها غیر ممکن است، و بدون استفاده از نمادگذاری‌های
خاص نمی‌توان این اعداد را بیان، یا نمی‌توان آنها را با هم مقایسه کرد.
دیر زمانیست که انسان وجود فضاهایی
با بیش از سه بُعد را نه تنها رد نمی‌کند، بلکه آنها را ضروری می‌داند (مثلاً در
نظریه نسبیت انیشتین، یا نظریه ریسمان‌ها. برای اطلاعات بیشتر به کتاب سیاه‌چاله‌ها، کرم‌چاله‌ها و ماشین‌های زمان رجوع
کنید). با اینحال، درک ما از فضای واقعی به سه بُعد محدود می‌شود. برای درک اعداد
بزرگ نیز دشواری مشابه‌ای وجود دارد، هرچند برخلاف تجسم فضای چند بعد که یک دشواری
عینی است، این موضوع صرفاً یک دشواری ریاضی است، و ما راحت‌تر با آن کنار می‌آییم.
بعنوان یک مقدمه ساده، فرض کنید یک
عدد مثبت صحیح مثل x داریم، که از 1
بزرگتر است. چطور می‌توانیم اعدادی را تولید کنیم که از x بزرگتر باشند؟ برای اینکار
باید از یک عدد مثبت دیگر مثل a استفاده کنیم که از 1 بزرگتر باشد، در اینصورت:
1- می‌توانیم
x را با a جمع کنیم: (x+a)
2- می‌توانیم
x را در a ضرب کنیم: (ax)
3- می‌توانیم
a را به توان x برسانیم: (ax)
با انجام
هر یک از عملیات فوق، عددی تولید می‌شود که از x بزرگتر است، ولی بزرگی عدد
تولید شده به نوع عملی بستگی دارد که ما انجام می‌‌دهیم. هر یک از عملیات فوق
تعمیمی از عمل قبلی است و حاصل آن نسبت به عملیات قبلی بزرگتر؛ جمع تعمیمی از
شمارش ساده است، ضرب تعمیمی از جمع است، و به توان رسانی هم تعمیمی از ضرب.
ولی آیا
عملیات اصلی که می‌توانیم انجام دهیم به جمع، ضرب، و توان (مراحل 1 الی 3) محدود
می‌شود؟ با تعمیم عمل به‌توان رسانی، و نامیدن آن بعنوان عمل رده 4 (tetration)،
ما می‌توانیم عملی را تعریف کنیم که رشد آن نسبت به عملیات قبلی بزرگتر باشد. در
بخش بعدی بصورت مفصلتری درباره عمل‌های رده بالا صحبت خواهیم کرد.
ولی
دشواری که درمورد درک اعداد بزرگ پیش می‌آید از این جهت است که برای ساختن آنها از
تعمیم عملیات رده بالا استفاده می‌شوند، و همین تجسم آنها را بسرعت دشوار می‌کند،
تا جایی که فقط با توسل به نماد گذاری‌های خاص می‌توان آنها را بیان کرد. البته
این نکته را باید خاطر نشان کرد که دشواری مذکور ارتباطی با اعدادی که برای نشان
دادن نقاط در فضای چند بعدی از آنها استفاده می‌شود (مثل اعداد مختلط، کواترنیون‌ها،
و غیره) ندارد (برای مطالعات بیشتر به کتاب چرا زیبایی
واقعیت است؟ رجوع کنید)، و منظور ما صرفاً اعدادی است که روی یک خط قرار
می‌گیرند.
فعلاً به
چگونگی استفاده از متداول‌ترین روش نمایش اعداد بزرگ، که نمادگذاری علمی نامیده می‌شود،
می‌پردازیم.
نمادگذاری علمی (Scientific notation) برای این منظور اختراع شد
تا بتوان اعدادی را نمایش داد که در محدوده گسترده‌ای از مطالعات علمی ظاهر می‌شوند.
برای مثال، 1.0 × 109 ، یعنی 1 و بدنبال آن 9 صفر (1 000 000 000 )، یا بعبارتی یک بیلیون (میلیارد)، و 1.0 × 10-9 ، یعنی یک بیلیونیم. نوشتن 109 بجای
(1 000 000 000) باعث می‌شود خواننده تلاش نکند تعداد
صفرها را بشمارد یا در هنگامی که تعداد آنها زیاد باشد در شمردن آنها اشتباه کند.
چند نمونه از اعداد بزرگی که ممکن است برای شمارش چیزها در جهان واقعی با آنها روبرو شوید اینها هستند:
* تعداد بیتهای یک هارددیسک یک ترا بایتی (1013).
* تعداد اتصالات عصبی در مغز انسان (تقریباً 1013).
* تعداد سلول‌های موجود در بدن یک انسان بالغ (1014).
* ثابت آواگادرو، یعنی تعداد اتمها یا ملکول‌‌ها در یک مول (mole)؛ تعداد اتمها در 12 گرم از کربن-12 (تقریباً 6.022 × 1023).
* تعداد تقریبی ذرات هسته‌ای در سیاره زمین (1051).
* تعداد تقریبی اتمها در جهان مرئی (1080).
* تعداد حرکت‌های ممکن در بازی شطرنج، یا کران پایینی پیچیدگی درختِ بازی
شطرنج (game-tree complexity
of chess)، که به عدد شانون نیز معروف است، (10120).
در اینجا
قیمت‌ها به دلار برآورد شده و برخی به تومان تبدیل شده‌اند.
* قیمت متوسط یک متر مربع زمین در تهران در سال 2021، 1000$
یا 103
دلار، حدود 30 میلیون تومان (3×107).
* قیمت کل زمینهای شهر تهران با احتساب مساحت 600 کیلومتر مربعی تهران، 600,000,000×1000=600,000,000,000=6×1011، یا 600 بیلیون دلار، یا با
احتساب دلار 30 هزار تومانی در سال 2021،
1.8×1016= یک میلیون و هشتصد هزار میلیارد تومان.
* تولید ناخالص ملی ایران در سال 2021،
682 میلیارد دلار (6.8×1011).
* اگر فرض کنیم قیمت کل زمینهای شهری ایران به اندازه 10 برابر شهر
تهران باشد (که کمتر است)، قیمت کل زمینهای ایران می‌شود 6×1012
دلار، یا 1.8×1017 یا صد و هشتاد میلیون میلیارد تومان!
* گرانترین شرکت تجاری دنیا در سال 2021 مایکروسافت بوده، با ارزشی در
حدود 2.5 تریلیون دلار یا 2.5×1012 دلار (قیمتی به اندازه یک
سوم قیمت کل زمینهای شهری ایران).
* ارزش کل طلای استخراج شده توسط انسان در جهان تا سال 2010 (حدود 120
هزار تن)، 7.5 تریلیون دلار (7.5×1012).
* تولید ناخالص ملی چین در سال 2021،
15.6 تریلیون دلار (1.56×1013).
* تولید ناخالص ملی آمریکا در سال 2021،
22.6 تریلیون دلار (2.2×1013).
* بر اساس تقریبی که در این
سایت آمده، قیمت تقریبی کل زمینهای شهری آمریکا تا سال 2010، حدود 25
تریلیون دلار، یا 2.5×1014 دلار، یا 7.5×1019 تومان، یا هفت و نیم میلیارد میلیارد تومان است.
* ارزش کل یک کشور کمتر از 1000 سال تولید ناخالص آن کشور برآورد می‌شود
بنابراین ارزش کل ایران (6.8×1013) دلار، و ارزش کل
آمریکا (2.2×1016) دلار تخمین زده می‌شود.
* اگر فرض کنیم که ارزش جهان 100 برابر کشور آمریکا است (که خیلی خوشبینانه
است، و شاید به 20 برابر هم نرسد) ارزش کل کشورهای جهان می‌شود (1×1019) دلار، یا ده میلیارد
میلیارد دلار است (مشتری سراغ ندارید بخره!؟).
هر چند
اعداد فوق ممکن است بامزه بنظر برسند، ولی قصد من از مطرح کردن آنها صرفاً مقایسه
اعدادی است که فکر می‌کنیم بزرگ هستند. این اعداد به ما چه می‌گوید؟ پاسخ این است
که اگر شما فرضاً ثروت غیر قابل تصوری هم داشته باشید و بخواهید کل جهان را معامله
کنید، برای چنین تراکنشی تنها به اعدادی به بزرگی 1019 نیاز است. حداکثر طولی که چنین اعدادی دارند 20 رقم
است، و اگر ریز بنویسید، حتی می‌توانید چنین مبالغی را در دسته چک خودتان هم
بنویسید!
چند سالی
است که دغدغه دیگری به دغدغه‌های انسان مدرن افزوده شده و آن میزان داده‌های
دیجیتال است که میتواند روی کامپیوتر خودش ذخیره کند یا توسط دستگاه‌های موبایل
آن را با خودش حمل کند.
* تعداد بایت‌های لازم برای ذخیره 1 ساعت فیلم
با کیفیت 4k بدون استفاده از تکنیکهای فشرده‌سازی حدود 10 گیگا
بایت (1010) است، البته با استفاده از فشرده‌سازی پیشرفته حجم مورد نظر به یک
پنجم کاهش پیدا می‌کند (2 گیگا بایت).
* میزان حافظه یک موبایل پیشرفته در سال 2021،
حدود 256 گیگا بایت است (2.56×1011).
* تعداد بایت‌های یک هارد دیسک کم‌ظرفیت در
سال 2021 یک ترابایت (1012) است یعنی حدود 100
ساعت فیلم 4k را می‌توان روی چنین
هارد دیسکی ذخیره کرد.
* حجم
کل تولیدات فکری بشر (کتاب، روزنامه، مجله) بصورت متن‌های کدگذاری شده، حدود یک
پتا بایت (1015).
* فرض کنیم روزی انسان بتواند چشمانش را با دوربین‌های خارجی تقویت
کند، و بخواهد کلیه خاطرات خودش را از بدو تولد از طریق دو چشمِ تقویت شده با وضوح
4k، بطور 24 ساعته، و در طول 80 سال زندگی خودش ضبط کند، دراینصورت
به ظرفیت زیر نیاز دارد:
1010 × 2 × 24 × 365 × 80 = 1.4×1016 بایت
به عبارتی
این کار به پانزده هزار هارددیسک یک ترابایتی نیاز دارد.
* ممکن است تصور کنید که کمپانی گوگل با داشتن
مقام بزرگترین موتور جستجوی اینترنت و (تقریباً) داشتن یک کپی از تمام صفحات وب،
بزرگترین پایگاه داده جهان را داشته باشد، ولی اینطور نیست. این کمپانی از نظر حجم
اطلاعات در مقام چهارم یا پنجم قرار می‌گیرد. رکورد نخست متعلق به سازمان جهانی
تحقیقات هواشناسی است، که حجم داده‌های آن به 22 پِتا بایت بالغ می‌شود (2.2× 1016).
* از
پیدایش بشر حدود 2 میلیون سال می‌گذرد، و برآورد می‌شود که در طی این دوران حدود
100 میلیارد انسان متولد شده‌اند. میخواهیم ببینیم برای ضبط کلیه خاطرات آنها از
طریق دو چشم و در طی 24 ساعت با وضوح بالا به چه ظرفیتی نیاز است:
100,000,000,000 ×1.4×1016 = 1.4×1027 بایت
این ظرفیت
برای ضبط کل تاریخ بشر کافی است، و منظور از تاریخ فقط وقایع مهم نیست، بلکه آنچه
در همه دوران‌ها از مقابل چشمان همه انسان‌ها گذشته، حتی هنگامی که در خواب بوده‌اند
و احتمالاً خواب می‌دیده‌اند! و شامل همه تولیدات فکری او نیز می‌شود (زیرا حداقل
خود تولید کننده یکبار آن را دیده و ضبط کرده).
اعداد فوق
خیلی با گشاده دستی برآورد شده‌اند؛ زیرا مثلاً انسان‌ها نمی‌توانند چنین حجمی را
در ذهن خودشان ذخیره کنند و به سرعت حافظه آنها پر می‌شود. آنها برای بخاطر سپردن
موارد جدید و مهم، خاطرات قبلی را پاک میکنند (آنها را فراموش میکنند). علاوه
براین، آنها حداقل یک سوم زندگی خودشان را در خواب بسر می‌برند، و اکثر آنها هیچ
وقت حتی نمی‌توانند چیزی را با وضوح خیلی کم در ذهن خودشان بخاطر بسپارند، چه رسد
به وضوح 4k
و تفاوت زیادی هم بین آنچه چشم راست و چپ می‌بیند وجود ندارد. ولی ما همه چیز را
دست بالا را گرفته‌ایم.
همین را
می‌توان به همه جانداران روی زمین تعمیم داد و عددی را برای ذخیره تاریخچه آنها
محاسبه کرد. اصلاً می‌توان موجودات زنده و غیر زنده را کنار گذاشت و صحبت از
تاریخچه کل ذرات عالم کرد، و کل وضعیت‌های ممکن آنها را در طول عمر جهان برآورد
کرد، و عددی را به آن اختصاص داد. اگر فرصتی دست داد بزودی مقاله‌ای نیز در همین
رابطه منتشر خواهم کرد، که به مسئله محاسبه پذیری عالم معروف است. با
اینحال، این اعداد در پهنه اعداد بزرگی که در ریاضیات مطرح هستند بسیار کوچک‌اند.
عدد بزرگ
در ریاضیات عددی است که طول آن بقدری زیاد باشد که نه تنها نتوانیم آن را روی یک
کاغذ بنویسیم، بلکه اگر ارقام آن را روی تک تک ذرات عالم نیز بنویسیم باز هم جا
برای نوشتن آن نباشد (البته چنین تمثیلی بی‌معنی است، زیرا روی یک ذره چیزی نمی‌توان
نوشت، ولی این گویایِ بزرگی چنین اعدادی است). کوچکترین عدد معروفی که در این
رابطه می‌توان ذکر کرد گوگول‌پلکس است (
).
دیگر
اعداد بزرگ، که در رابطه با اندازهگیری طول یا زمان هستند، غالباً در نجوم یا
کیهانشناسی پدیدار می‌شوند. مثلاً، نظریه‌‌های جاری به این اشاره میکنند که سن
جهان در حدود 13.8
بیلیون است (بعبارتی 4.355 × 1017
ثانیه)، و طول جهان مرئی (یعنی آنچه از جهان که برای ما قابل دیدن است) 93 بیلیون سال نوری است،
و بر حسب رصدهایی که با استفاده از تلسکوپ فضایی هابل صورت گرفته، جهان حاوی 5 × 1022 ستاره است، که تقریباً در 125 بیلیون کهکشان جای گرفته‌‌اند. بنابر یک تخمین غیر
دقیق، تعداد اتم‌‌های موجود در جهان مرئی حدود 1080 است.
به مثال
زیر دقت کنید، زیرا اگر مفهوم آن برایتان روشن شود، این میتواند یکی از بزرگترین
اعدادی باشد که در فیزیک، یا به عبارت دیگر در جهان عینی، با آن روبرو می‌شوید. به
عبارت ساده‌تر، کمتر مسئله بامعنی در فیزیک هست که جواب آن به این بزرگی باشد.
بر طبق گفته فیزیکدان
کانادایی دان پیچ (Don Page)،
که یکی از شاگردان قدیمی استیون هاوکینگ بود، طولانی‌‌ترین زمانی که تاکنون
صریحاً توسط فیزیکدانان محاسبه شده (صحبت سر اندازهگیری نیست، بلکه فقط محاسبه
نظری) عبارت است از:
سال
که به برآورد زمان بازگشت پوانکاره (Poincaré recurrence time)
برای حالت کوانتومی یک جعبه فرضی ارتباط دارد که حاوی سیاه‌چاله‌ای به جرمِ کل جهان،
چه مرئی و چه غیر مرئی است. این بر اساس مدل تورمی خاصی محاسبه شده که تورمی به
اندازه 10−6 جرم پلانک داشته باشد. یک
راه ساده‌تر برای تصور این عدد این است که بر اساس خواص مکانیک آماری، مدلی
را در نظر بگیریم که در آن تاریخچه جهان بطور دلخواه تکرار می‌شود؛ و عدد فوق
نمایانگر زمانیست که طول می‌کشد که تا حدی به وضعیت فعلی خودش برسد.
این مسئله واقعاً مسئله بزرگی است؛
آیا ما یک مسئله فیزیک بامعنی دیگری داریم که جوابی بزرگتر از این داشته باشد؟ اگر
جواب منفی است، چرا بقیه اعداد بزرگ را دور نیاندازیم و این را بعنوان بزرگترین
عددی که می‌توانیم در یک مسئله واقعی از آن استفاده کنیم در نظر نگیریم، بعبارتی
بینهایت فیزیکی ما همین عدد باشد؟ جواب منفی است، چون این ساده‌انگاریست، و ممکن
است بعدها مسائل (بامعنی) دیگری مطرح شوند که جواب آنها از این هم بزرگتر باشند.
با اینحال، همینطور که در ادامه خواهید دید این عدد درمقابل اعداد بزرگی که در
ریاضیات مطرح می‌شوند بسیار، بسیار، بسیار،... کوچک است.
در ریاضیات، روندهای ترکیبی (Combinatorial)
اعدادی را تولید میکنند که خیلی بزرگ هستند. مثلاً تابع فاکتوریل، که تعداد
جایگشت‌های (Permutation) یک مجموعه با اعضای ثابت را تعریف می‌کند، با ازدیاد
تعداد اشیاء با سرعتِ زیادی رشد می‌کند. فرمول استرلینگ (Stirling's formula) یک تقریب مُجانبی دقیق از نرخ رشد این تابع
به ما می‌دهد، ولی باز هم باید به این مورد اشاره کرد که عملیات رده چهار به بالا
حتی از فاکتوریل نیز اعداد بزرگتری را تولید میکنند، حتی تابع ساده‌ای مثل nn نیز از فاکتوریل بزرگتر است.
در مکانیک آماری روندهای ترکیبی اعداد بسیار بزرگی را تولید
میکنند. این اعداد بقدری بزرگ هستند که تنها با لگاریتم آنها بیان می‌شوند.
در منطق مدرن برای اثبات برخی از قضایا، مثلاً قضیه تمامیت گودل (Gödel's completeness theorem)، فرض براین است که می‌توان کلیه گزاره‌های و اجزاء
آنها را با یک عدد نشان داد (چیزی شبیه Hash Code در علوم کامپیوتر، ولی خیلی خیلی کلی‌تر)، اینکه طول این گزاره‌ها چقدر
باشد و هر کدام از چند جزء تشکیل شده باشند، به اعدادی می‌انجامد که به اعداد
گودل (Gödel numbers) معروفند و در نظریه اطلاعات الگوریتمی بکار می‌روند،
و حتی برای نمایش گزاره‌های ساده ریاضی خیلی بزرگ هستند. ولی اعداد بیمارگونه‌ای
(Pathological) هستند که حتی از اعداد گودل برای گزاره‌های خاص ریاضی
نیز بسیار بزرگترند.
منطق‌دان آمریکایی هاروی فریدمن (Harvey Friedman)
کارهای زیادی بر روی اعداد بسیار بزرگ انجام داده، مخصوصاً بسط قضایایی مانند قضیه
درخت کروسکال (Kruskal's
tree theorem) و قضیه روبرتسون-سیمور
(Robertson–Seymour
theorem).
*
گُوگول (googol): 10100(با
گوگِل اشتباه نشود؛ در واقع اسم موتور جستجوی google از همین عدد الهام گرفته).
*
سنتیلیون (centillion) 10600.
*
میلینیلیون (millinillion) 106000.
*
بزرگترین عدد اسمیت (Smith number) شناخته شده: (101031−1) × (104594 + 3×102297
+ 1)1476 ×103913210.
* بزرگترین عدد
اول مرسن شناخته شده تا سال 2018: 
* گوگول‌پلکس (googolplex): 
.
* اعداد
اسکیوز (Skewes' numbers): عدد اول بطور
تقریبی 
،
و عدد دوم 
است.
در بخش بعدی این مقاله به اعدادی اشاره می‌کنیم که در
ریاضیات نیز بزرگ محسوب می‌شوند. همچنین بطور مختصر نمادگذاری‌های لازم برای نمایش
چنین اعدادی را توضیح خواهیم داد.
https://en.wikipedia.org/wiki/Large_numbers
https://en.wikipedia.org/wiki/Names_of_large_numbers#The_googol_family
https://en.wikipedia.org/wiki/Skewes%27s_number